Resolva os problemas de valor inicial: { x1' = x1 + x2, x2' = x1 + x2, x3' = -x3 } com x1(0)=0 ; x2(0)=1 ; x3(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais com condições iniciais. O sistema é:
E as condições iniciais são: , , e .
A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de valor inicial, especialmente sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de sistemas lineares e entender como lidar com cada equação individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as duas primeiras equações:
Perceba que as derivadas de e são iguais. Isso significa que a taxa de variação de é a mesma de . Então, podemos relacionar e .

Passo 3

Vamos subtrair as duas equações para encontrar uma relação entre e :
Isso implica que:
Usando as condições iniciais e , temos:
Então, a relação é:

Passo 4

Agora, vamos substituir em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a primeira equação:
Calculando a derivada:
Temos agora uma equação diferencial para :

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A gente resolve usando o fator integrante. A equação está no formato:
Aqui, e . O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Aplicando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 8

Lembrando que , substituímos :

Passo 9

Agora, vamos resolver a terceira equação:
Essa é uma equação diferencial linear simples. A solução geral é:
Aplicando a condição inicial :
Então, a solução para é:

Resposta

As soluções do sistema são:

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