Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
y'' + y = e^x + x^3 com y(0) = 2 e y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea que é com as condições iniciais e . Aqui, a matéria que vamos usar é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular para o lado não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo no lado não homogêneo. Assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo . Como o lado direito é um polinômio de grau 3, assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular para é:

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com as soluções particulares:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :
Agora, derivamos :
Aplicamos :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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