Resolva as equações diferenciais não homogêneas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea que é com as condições iniciais e . Aqui, a matéria que vamos usar é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular para o lado não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo no lado não homogêneo. Assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Então, a solução particular para é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o termo . Como o lado direito é um polinômio de grau 3, assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
Então, a solução particular para é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução homogênea com as soluções particulares:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .