Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
, e queremos encontrar uma função
que satisfaça essa equação com as condições de contorno
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, soluções homogêneas e particulares. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução dessa equação é a combinação de funções seno e cosseno:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar depois usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é uma função polinomial (no caso, linear), tentamos uma solução particular do tipo:
Derivando essa função:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
Aqui temos um problema:
não faz sentido!
Resposta
Não existe solução para o problema de valores de contorno dado, pois as condições de contorno são incompatíveis.