Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução. y'' + y = x, y(0) = 0, y(pi) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo , e queremos encontrar uma função que satisfaça essa equação com as condições de contorno e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, soluções homogêneas e particulares. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . A solução dessa equação é a combinação de funções seno e cosseno:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma função polinomial (no caso, linear), tentamos uma solução particular do tipo:
Derivando essa função:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Aqui temos um problema: não faz sentido!

Resposta

Não existe solução para o problema de valores de contorno dado, pois as condições de contorno são incompatíveis.

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