Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução. y'' + y = 0, y(0) = 0, y(pi) = 1

Passo 1

Vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: . Além disso, precisamos que a solução dessa equação atenda a duas condições específicas: e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e aplicar as condições de contorno para encontrar os valores das constantes na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial . Para isso, resolvemos a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas e conjugadas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
  1. Primeira condição:
Então, .
  1. Segunda condição:
Isso nos dá , o que é impossível.

Resposta

Não existe nenhuma função que satisfaça a equação diferencial com as condições de contorno e . Portanto, o problema não tem solução.

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