Resolva os problemas de valores de contorno ou mostre que não têm solução.
Passo 1
Vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
. Além disso, precisamos que a solução dessa equação atenda a duas condições específicas:
e
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes e aplicar as condições de contorno para encontrar os valores das constantes na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial
. Para isso, resolvemos a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas e conjugadas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar
e
.
- Primeira condição:
Então,
.
- Segunda condição:
Isso nos dá
, o que é impossível.
Resposta
Não existe nenhuma função
que satisfaça a equação diferencial
com as condições de contorno
e
. Portanto, o problema não tem solução.