Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série
é convergente ou divergente. Estamos trabalhando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o seu comportamento. Observamos que:
À medida que
cresce,
se torna muito pequeno, então podemos aproximar
. Portanto, para valores grandes de
, o termo geral se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica
, que sabemos que diverge. Usaremos o Teste da Comparação Limitada para isso.
Passo 4
Aplicamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
Como o limite é uma constante positiva diferente de zero (
), pelo Teste da Comparação Limitada, as duas séries têm o mesmo comportamento: se uma diverge, a outra também diverge.
Resposta
A série
diverge.