Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
a) sumn=3^infty 1raizn^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série é convergente ou divergente. Estamos trabalhando com séries numéricas, e para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o seu comportamento. Observamos que:
1raizn^2-4 = 1nraiz1 - 4n^2
À medida que cresce, se torna muito pequeno, então podemos aproximar . Portanto, para valores grandes de , o termo geral se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série harmônica , que sabemos que diverge. Usaremos o Teste da Comparação Limitada para isso.

Passo 4

Aplicamos o limite da razão entre os termos das duas séries:
limn to infty 1raizn^2-41n = limn to infty nraizn^2-4 = limn to infty 1raiz1 - 4n^2 = 1
Como o limite é uma constante positiva diferente de zero ( ), pelo Teste da Comparação Limitada, as duas séries têm o mesmo comportamento: se uma diverge, a outra também diverge.

Resposta

A série diverge.

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