Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial parcial (EDP) que envolve derivadas em relação a
e
. O objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as partes que envolvem
das que envolvem
.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja:
Isso facilita a resolução porque vamos separar as variáveis.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada de
em relação a
é:
E a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na equação original:
Vamos reorganizar os termos para separar as variáveis:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo depende só de
e o lado direito depende só de
. Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de
.
Então temos duas equações:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com soluções que dependem do sinal de
:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Passo 8
Juntando as soluções de
e
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias e
é uma constante de separação.
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Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Sugestão: chame
e siga os passos do último exemplo apresentado no texto.
Resolva as equações diferenciais parciais