Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial parcial (EDP) que envolve derivadas em relação a e . O objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as partes que envolvem das que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Isso facilita a resolução porque vamos separar as variáveis.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada de em relação a é:
E a segunda derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituímos essas derivadas na equação original:
Vamos reorganizar os termos para separar as variáveis:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo depende só de e o lado direito depende só de . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de .
Então temos duas equações:

Passo 6

Vamos resolver a equação para :
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com soluções que dependem do sinal de :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Juntando as soluções de e , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias e é uma constante de separação.

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Resolva as equações diferenciais parciais
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Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Sugestão: chame e siga os passos do último exemplo apresentado no texto.
Resolva as equações diferenciais parciais