Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
x^2 partial zpartial x-partial^2 zpartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial parcial (EDP) que envolve derivadas em relação a e . O objetivo é resolver essa equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as partes que envolvem das que envolvem .

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução z(x, y) = X(x) cdot Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de . Ou seja:
Isso facilita a resolução porque vamos separar as variáveis.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada de partial zpartial x = X'(x) cdot Y(y) em relação a partial^2 zpartial y^2 = X(x) cdot Y''(y) é:
E a segunda derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituímos essas derivadas na equação original:
x^2 cdot X'(x) cdot Y(y) - X(x) cdot Y''(y) = 0
Vamos reorganizar os termos para separar as variáveis:
x^2 cdot X'(x)X(x) = Y''(y)Y(y)

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo depende só de x^2 cdot X'(x) = lambda cdot X(x) e o lado direito depende só de Y''(y) = lambda cdot Y(y) . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de .
Então temos duas equações:

Passo 6

Vamos resolver a equação para x^2 cdot X'(x) = lambda cdot X(x) :
X'(x)X(x) = lambdax^2
Dividindo ambos os lados por ln|X(x)| = -lambdax + C e multiplicando por X(x) = C cdot e^-lambdax :
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para Y''(y) = lambda cdot Y(y) :
Y(y) = A e^raizlambda y + B e^-raizlambda y
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com soluções que dependem do sinal de Y(y) = A y + B :
  • Se Y(y) = A cos(raiz-lambda y) + B sin(raiz-lambda y) :
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Juntando as soluções de z(x, y) = e^-lambdax [ A e^raizlambda y + B e^-raizlambda y ] e , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
z(x, y) = e^-lambdax [ A e^raizlambda y + B e^-raizlambda y ]
onde e são constantes arbitrárias e é uma constante de separação.

Exercícios relacionados