Resolva as equações diferenciais parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial juntos! A equação que temos é:
O que isso significa? Estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais de quarta ordem de uma função
em relação a
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
O que vamos precisar? Vamos integrar a equação passo a passo em relação a
e
, lembrando que cada integração pode introduzir funções de integração que dependem das outras variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação em relação a
duas vezes para reduzir a ordem da derivada em
.
A equação é:
Integrando uma vez em relação a
:
Mas, na verdade, a constante de integração aqui pode depender de
, então simplificamos para:
Passo 3
Agora, vamos integrar novamente em relação a
para obter a segunda derivada:
Aqui,
é outra função de integração que depende de
.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar a equação resultante em relação a
duas vezes para obter
.
Primeira integração em relação a
:
Calculando cada termo:
Então:
Onde
é uma função de integração que depende de
.
Passo 5
Agora, integramos novamente em relação a
para obter
:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial parcial é:
Onde
e
são funções arbitrárias de
, e
e
são funções arbitrárias de
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais parciais
Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Sugestão: chame
e siga os passos do último exemplo apresentado no texto.