Resolva as equações diferenciais parciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial juntos! A equação que temos é:
O que isso significa? Estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais de quarta ordem de uma função em relação a e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação.
O que vamos precisar? Vamos integrar a equação passo a passo em relação a e , lembrando que cada integração pode introduzir funções de integração que dependem das outras variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação em relação a duas vezes para reduzir a ordem da derivada em .
A equação é:
Integrando uma vez em relação a :
Mas, na verdade, a constante de integração aqui pode depender de , então simplificamos para:

Passo 3

Agora, vamos integrar novamente em relação a para obter a segunda derivada:
Aqui, é outra função de integração que depende de .

Passo 4

Em seguida, vamos integrar a equação resultante em relação a duas vezes para obter .
Primeira integração em relação a :
Calculando cada termo:
Então:
Onde é uma função de integração que depende de .

Passo 5

Agora, integramos novamente em relação a para obter :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial parcial é:
Onde e são funções arbitrárias de , e e são funções arbitrárias de .

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Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
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Use o método de separaçảo de variáveis para resolver as equações diferenciais ordinárias abaixo, se possivel.
Sugestão: chame e siga os passos do último exemplo apresentado no texto.