Resolva as equações diferenciais parciais
partial^4 ypartial x^2 partial z^2=x z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial juntos! A equação que temos é:
partial^4 ypartial x^2 partial z^2 = x z
O que isso significa? Estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais de quarta ordem de uma função em relação a e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação.
O que vamos precisar? Vamos integrar a equação passo a passo em relação a e , lembrando que cada integração pode introduzir funções de integração que dependem das outras variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação em relação a partial^4 ypartial x^2 partial z^2 = x z duas vezes para reduzir a ordem da derivada em partial^3 ypartial x^2 partial z = integral x z , dz = x z^22 + C1(x, z) .
A equação é:
partial^3 ypartial x^2 partial z = x z^22 + f1(x)
Integrando uma vez em relação a :
Mas, na verdade, a constante de integração aqui pode depender de , então simplificamos para:

Passo 3

Agora, vamos integrar novamente em relação a partial^2 ypartial x^2 = integral ( x z^22 + f1(x) ) dz = x z^36 + f1(x) z + f2(x) para obter a segunda derivada:
Aqui, é outra função de integração que depende de .

Passo 4

Em seguida, vamos integrar a equação resultante em relação a partial ypartial x = integral ( x z^36 + f1(x) z + f2(x) ) dx duas vezes para obter partial ypartial x = z^312 x^2 + z F1(x) + F2(x) + g1(z) .
Primeira integração em relação a :
Calculando cada termo:
Então:
Onde é uma função de integração que depende de .

Passo 5

Agora, integramos novamente em relação a y(x, z) = integral ( z^312 x^2 + z F1(x) + F2(x) + g1(z) ) dx para obter y(x, z) = z^336 x^3 + z F3(x) + F4(x) + g1(z) x + g2(z) :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial parcial é:
y(x, z) = z^336 x^3 + z F3(x) + F4(x) + g1(z) x + g2(z)
Onde e são funções arbitrárias de , e e são funções arbitrárias de .

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