Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
O que isso significa? Estamos lidando com uma equação que envolve derivadas de
em relação a
. Para resolver, vamos verificar se ela é exata. Se não for, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
da nossa equação:
Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou de
.
Passo 4
Vamos usar a fórmula para encontrar o fator integrante
:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Essa nova equação é exata, o que facilita a resolução.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.
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(k)
(k)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(i)
(i)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(n)
(n)
Se
, então