Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(l)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
O que isso significa? Estamos lidando com uma equação que envolve derivadas de em relação a . Para resolver, vamos verificar se ela é exata. Se não for, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e da nossa equação:
Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou de .

Passo 4

Vamos usar a fórmula para encontrar o fator integrante :
Substituindo os valores:
Então,

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Essa nova equação é exata, o que facilita a resolução.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 7

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante qualquer.

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(k)
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(i)
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(n)
Se , então