Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(n)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas e como encontrar um fator integrante quando a equação não é exata. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, descobrir esse fator integrante para torná-la exata e poder resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos as funções
e
na equação
:
Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação tornando-a exata. Vamos assumir que esse fator
depende apenas de
.
A fórmula para o fator integrante quando ele depende de
é:
Vamos calcular o que está dentro da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar:
Desconsideramos a constante de integração
porque ela será absorvida na função exponencial. Então:
Para simplificar e focar na função essencial, podemos escrever:
Passo 5
Com o fator integrante
em mãos, multiplicamos toda a equação original por
:
Isso torna a equação exata, o que significa que existe uma função
tal que:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Substituindo
:
Este integral pode ser complexo, mas como estamos focando no fator integrante, vamos parar por aqui para simplificar a resposta.
Resposta
O fator integrante para a equação diferencial dada é:
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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(l)
(l)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(k)
(k)
Se
, então
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(o)
(o)