Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas e como encontrar um fator integrante quando a equação não é exata. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se não for, descobrir esse fator integrante para torná-la exata e poder resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, identificamos as funções e na equação :
Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação tornando-a exata. Vamos assumir que esse fator depende apenas de .
A fórmula para o fator integrante quando ele depende de é:
Vamos calcular o que está dentro da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar:
Desconsideramos a constante de integração porque ela será absorvida na função exponencial. Então:
Para simplificar e focar na função essencial, podemos escrever:

Passo 5

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por :
Isso torna a equação exata, o que significa que existe uma função tal que:

Passo 6

Integrando em relação a :
Substituindo :
Este integral pode ser complexo, mas como estamos focando no fator integrante, vamos parar por aqui para simplificar a resposta.

Resposta

O fator integrante para a equação diferencial dada é:

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(l)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(k)
Se , então
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(o)