Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
(f) tg(x) dy + (y - sen(x)) dx = 0

Passo 1

Então, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: . A matéria que vamos usar aqui é as equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisamos reorganizar a equação para identificar os coeficientes e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. Para isso, vamos dividir todos os termos por tg x:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, identifique os coeficientes na forma padrão :

Passo 4

Vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplica a equação para facilitar a resolução. O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante sen x:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
A integral do lado direito pode ser resolvida usando uma substituição simples:

Passo 7

Então, temos:
Dividindo ambos os lados por sen x para isolar y:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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