Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de primeira ordem:
Essa questão está relacionada ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos primeiro verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão:
Comparando com a equação dada:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de
, ou seja,
.
A condição para encontrar
é:
Esse termo deve ser igual a
, então:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
:
Para simplificar, podemos escolher
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação se torna:
Passo 7
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Como os termos com
devem cancelar, temos:
Integrando
:
Simplificando a integral:
Mas isso pode ser simplificado para uma expressão geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Sejam as funções vetoriais
e
Calcule:
Sejam
e
. Calcular:
Calcular:
Seja
Determine: b) a taxa de variação de f no ponto
na direção do vetor
, onde