Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial de primeira ordem:
Essa questão está relacionada ao estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos primeiro verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão:
Comparando com a equação dada:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar um fator que depende apenas de , ou seja, .
A condição para encontrar é:
Esse termo deve ser igual a , então:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar :
Para simplificar, podemos escolher :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação se torna:

Passo 7

Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :
Como os termos com devem cancelar, temos:
Integrando :
Simplificando a integral:
Mas isso pode ser simplificado para uma expressão geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Sejam as funções vetoriais
e
Calcule:
Sejam e . Calcular:
Calcular:
Seja Determine: b) a taxa de variação de f no ponto na direção do vetor , onde