Seja Determine: b) a taxa de variação de f no ponto na direção do vetor , onde

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisamos descobrir como essa função muda no ponto na direção de um vetor que vem da derivada de uma curva . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente a taxa de variação direcional, que envolve a derivada direcional e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor direção . A curva dada é , então a derivada dela em relação a é . Esse é o nosso vetor direção.

Passo 3

Agora, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o tamanho do vetor:
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a , e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 6

Agora, a taxa de variaç��o direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário :

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Calcular:
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
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Seja Determine: a) a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto
Sejam e . Calcular: