Seja
Determine: b) a taxa de variação de f no ponto
na direção do vetor
, onde
Passo 1
Então, a gente tem uma função
e precisamos descobrir como essa função muda no ponto
na direção de um vetor que vem da derivada de uma curva
. Vamos usar cálculo multivariável, especificamente a taxa de variação direcional, que envolve a derivada direcional e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor direção
. A curva dada é
, então a derivada dela em relação a
é
. Esse é o nosso vetor direção.
Passo 3
Agora, precisamos transformar o vetor direção
em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o tamanho do vetor:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente
é:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 6
Agora, a taxa de variaç��o direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário
:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Calcular:
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
©
©
Seja
Determine: a) a direção de maior variação de f e a taxa de maior variação da função no ponto
Sejam
e
. Calcular: