Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício envolvendo funções vetoriais e precisa calcular a derivada do produto vetorial delas. Isso significa que vamos trabalhar com vetores que dependem de uma variável, geralmente o tempo . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e como tirar a derivada de uma função vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. Se a gente tem dois vetores e , o produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial em componentes é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso às nossas funções vetoriais e . Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor:
Perceba que não tem componente na direção , então .
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial usando a fórmula que mostramos:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Agora precisamos encontrar a derivada dessa função vetorial resultante em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar cada componente separadamente.
A derivada de um vetor é simplesmente a derivada de cada uma de suas componentes. Vamos lembrar das regras básicas de derivação:
A derivada de é 1.
A derivada de é .
A derivada de é .
A derivada de usa a regra do produto: .
Passo 6
Aplicando essas regras, vamos derivar cada componente: