Sejam as funções vetoriais
e
Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício envolvendo funções vetoriais e precisa calcular a derivada do produto vetorial delas. Isso significa que vamos trabalhar com vetores que dependem de uma variável, geralmente o tempo . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e como tirar a derivada de uma função vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto vetorial. Se a gente tem dois vetores e , o produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial em componentes é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às nossas funções vetoriais e . Primeiro, vamos identificar as componentes de cada vetor:
Perceba que não tem componente na direção , então .

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial usando a fórmula que mostramos:
Simplificando cada componente:

Passo 5

Agora precisamos encontrar a derivada dessa função vetorial resultante em relação a , ou seja, . Para isso, vamos derivar cada componente separadamente.
A derivada de um vetor é simplesmente a derivada de cada uma de suas componentes. Vamos lembrar das regras básicas de derivação:
  • A derivada de é 1.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra do produto: .

Passo 6

Aplicando essas regras, vamos derivar cada componente:
  1. Para :
Então, a componente fica .
  1. Para :
A componente fica .
  1. Para :
Então, a componente fica:

Resposta

Juntando todas as componentes derivadas, temos:
Ou simplificando:

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcular:
Nos problemas a seguir, uma equação diferencial é dada junto com o campo ou área de atuação em que ela aparece. Classifique cada uma como uma EDO ou EDP, dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se for uma EDO, indique se ela é linear ou não linear.
(g) (aerodinâmica, análise de estresse)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
©
Calcular: