Seja
, encontre uma função
tal que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor
. Queremos encontrar uma função
tal que o gradiente de
, denotado por
, seja igual a
mesmo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função escalar e como resolvê-lo.
Passo 2
Vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar
é dado por:
Segundo a questão, queremos que
, ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações parciais:
Passo 3
Vamos resolver cada uma dessas equações. Começando pela primeira:
Isso é uma equação diferencial simples. A solução geral é:
Aqui,
é uma função que só depende de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo nossa expressão para
:
Derivando:
Dividindo ambos os lados por
:
A solução dessa equação é:
onde
é uma função que só depende de
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Agora, usamos a terceira equação:
Substituindo:
Derivando:
Dividindo por
:
A solução dessa equação é:
onde
é uma constante.
Resposta
Portanto, a fun�o
que satisfaz
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
Nos itens abaixo, determine se os vetores são paralelos.
(a) e
.
(b) e
.
(a)
(b)
Em cada um dos itens abaixo, determine o vetor
em termos dos vetores
e
.
(a) .
(b) .
(a)
(b)