Seja F(x, y)=y^2 i+(2 xy-e^3 z) j+3 ye^3 z k, encontre uma função f tal que nabla f=f.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor F(x, y, z) = y^2 i + (2xy - e^3z) j + 3ye^3z k. Queremos encontrar uma função f tal que o gradiente de f, denotado por nabla f, seja igual a f mesmo. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função escalar e como resolvê-lo.

Passo 2

Vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar f(x, y, z) é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x ) i + ( partial fpartial y ) j + ( partial fpartial z ) k
Segundo a questão, queremos que nabla f = f, ou seja:
( partial fpartial x ) i + ( partial fpartial y ) j + ( partial fpartial z ) k = f i + f j + f k
Isso nos dá um sistema de equações parciais:
partial fpartial x = f
partial fpartial y = f
partial fpartial z = f

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas equações. Começando pela primeira:
partial fpartial x = f
Isso é uma equação diferencial simples. A solução geral é:
f(x, y, z) = C(y, z) e^x
Aqui, C(y, z) é uma função que só depende de y e z.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação:
partial fpartial y = f
Substituindo nossa expressão para f:
partialpartial y ( C(y, z) e^x ) = C(y, z) e^x
Derivando:
partial Cpartial y e^x = C(y, z) e^x
Dividindo ambos os lados por e^x:
partial Cpartial y = C(y, z)
A solução dessa equação é:
C(y, z) = D(z) e^y
onde D(z) é uma função que só depende de z.

Passo 5

Substituindo C(y, z) na expressão de f:
f(x, y, z) = D(z) e^y e^x = D(z) e^x + y
Agora, usamos a terceira equação:
partial fpartial z = f
Substituindo:
partialpartial z ( D(z) e^x + y ) = D(z) e^x + y
Derivando:
d Dd z e^x + y = D(z) e^x + y
Dividindo por e^x + y:
d Dd z = D(z)
A solução dessa equação é:
D(z) = E e^z
onde E é uma constante.

Resposta

Portanto, a funç��o f que satisfaz nabla f = f é:
f(x, y, z) = E e^x + y + z
onde E é uma constante arbitrária.

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