Resolva as equações diferenciais relacionadas abaixo:
dy/dx - 2y/x = x^2 cos(x), y(pi) = 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
E uma condição inicial: . Vamos resolver essa equação usando o método de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares:
Comparando com nossa equação:

Passo 3

Agora, encontramos o fator integrante mu(x), que é dado por:
Substituindo P(x):

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:

Passo 6

Resolvemos para y:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :
Como :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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