Resolva os problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que é uma equação diferencial. A gente precisa encontrar a função que satisfaz a equação e que passa pelo ponto . Pra resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais exatas ou encontrar um fator integrante se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação da forma é exata se . Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou de . Vamos tentar um fator integrante que dependa de , ou seja, .
O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Isso parece complicado, então talvez seja melhor tentar outro método ou verificar se a equação pode ser simplificada de outra forma.

Passo 4

Vamos tentar rearranjar a equação original para visualizar melhor:
Dividindo ambos os lados por :
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem que não é linear devido ao termo .

Passo 5

Uma abordagem útil pode ser procurar uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar a substituição . Então:
Derivando ambos os lados em relação a :
Vamos expressar a partir dessa equação:
Agora, substituímos isso na equação original:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Então, temos:

Passo 6

Agora, temos uma equação separável:
Podemos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Pode-se reescrever como:
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por -2:
Elevando ambos os lados como potências de :
Lembrando que :
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva as equações diferenciais.
Resolva as equações diferenciais.
Resolva os problemas de valor inicial: