Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que é uma equação diferencial. A gente precisa encontrar a função
que satisfaz a equação
e que passa pelo ponto
. Pra resolver isso, vamos usar o método de equações diferenciais exatas ou encontrar um fator integrante se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação da forma
é exata se
. Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou de
. Vamos tentar um fator integrante que dependa de
, ou seja,
.
O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Isso parece complicado, então talvez seja melhor tentar outro método ou verificar se a equação pode ser simplificada de outra forma.
Passo 4
Vamos tentar rearranjar a equação original para visualizar melhor:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem que não é linear devido ao termo
.
Passo 5
Uma abordagem útil pode ser procurar uma substituição que simplifique a equação. Vamos tentar a substituição
. Então:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Vamos expressar
a partir dessa equação:
Agora, substituímos isso na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável:
Podemos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por -2 para simplificar:
Pode-se reescrever como:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Isolando
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Elevando ambos os lados como potências de
:
Lembrando que
:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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