Resolva os problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial com a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de transformação de equação de Bernoulli e fatores integrantes. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Vamos isolar o termo que contém :
Dividindo ambos os lados por para deixar sozinho:
Assim, temos uma equação na forma:

Passo 3

Essa forma se assemelha a uma equação de Bernoulli, que é do tipo:
No nosso caso, , , e . Para resolver, fazemos uma substituição que transforma a equação em algo mais simples.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Substituindo na equação original:
Multiplicando tudo por para simplificar:
Como , podemos substituir:

Passo 5

Agora temos uma equação linear de primeira ordem para :
Onde e . Para resolver, encontramos o fator integrante :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :
Extraindo a raiz quadrada e lembrando que , escolhemos a raiz negativa:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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(a) Mostre que é monótona decrescente e que .
Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva as equações diferenciais.