Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um problema de valor inicial com a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de transformação de equação de Bernoulli e fatores integrantes. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. A equação dada é:
Vamos isolar o termo que contém
:
Dividindo ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Assim, temos uma equação na forma:
Passo 3
Essa forma se assemelha a uma equação de Bernoulli, que é do tipo:
No nosso caso,
,
, e
. Para resolver, fazemos uma substituição que transforma a equação em algo mais simples.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Substituindo
na equação original:
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Como
, podemos substituir:
Passo 5
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
:
Onde
e
. Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 10
Substituindo
de volta na expressão para
:
Extraindo a raiz quadrada e lembrando que
, escolhemos a raiz negativa:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais.
(a) Mostre que
é monótona decrescente e que
.
Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva as equações diferenciais.