Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial separável dada por
. Nesse tipo de equação, nosso objetivo é separar as variáveis
e
para lados opostos, facilitando a integração e encontrando a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que, se conseguimos escrever a equação na forma
, podemos integrar cada lado separadamente.
Passo 3
Vamos integrar o lado esquerdo:
A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Para isolar
, vamos reescrever a equação:
Em seguida, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como
:
Removendo o valor absoluto e incorporando o sinal na constante
, temos:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.