Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
x^(-2) dx = y^(-1) dy

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial separável dada por . Nesse tipo de equação, nosso objetivo é separar as variáveis e para lados opostos, facilitando a integração e encontrando a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que, se conseguimos escrever a equação na forma , podemos integrar cada lado separadamente.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo:
A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 4

Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 5

Para isolar , vamos reescrever a equação:
Em seguida, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como é apenas uma constante positiva, podemos renomeá-la como :
Removendo o valor absoluto e incorporando o sinal na constante , temos:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

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