Resolva as equações diferenciais diferenciais sujeitas às condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
, e também a condição inicial
. A matéria que vamos usar pra resolver isso é Cálculo Diferencial, mais especificamente, equações diferenciais de primeira ordem. Precisamos saber como separar as variáveis e integrar para achar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa equação é separável, ou seja, dá pra separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Isso facilita muito na hora de integrar.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, dividimos ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação. A ideia é que a integral de
é
e a integral de
é
.
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
A gente quer achar a solução geral da equação, então precisamos resolver para
. Vamos fazer isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é só uma constante, podemos chamar de
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
pra achar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é: