Resolva as equações diferenciais diferenciais sujeitas às condições dadas.
d/y = y/x^2, y(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo , e também a condição inicial . A matéria que vamos usar pra resolver isso é Cálculo Diferencial, mais especificamente, equações diferenciais de primeira ordem. Precisamos saber como separar as variáveis e integrar para achar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa equação é separável, ou seja, dá pra separar os termos que envolvem dos que envolvem . Isso facilita muito na hora de integrar.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Aqui, dividimos ambos os lados por para isolar de um lado e do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação. A ideia é que a integral de é e a integral de é .
Onde é a constante de integração.

Passo 5

A gente quer achar a solução geral da equação, então precisamos resolver para . Vamos fazer isso exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como é só uma constante, podemos chamar de :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial pra achar o valor de . Substituindo e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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