Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos analisar a série . O assunto envolvido aqui é o teste de convergência de séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar comparar os termos da série com uma série conhecida ou usar um teste específico que nos ajude a determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, observe o comportamento dos termos quando cresce grande. Para isso, vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior termo de presente no denominador, que é :
Quando tende ao infinito, tende a 0 e também tende a 0. Assim, a fração se aproxima de:

Passo 3

Apesar de os termos tenderem a zero, isso não garante a convergência da série. Precisamos aplicar um teste de convergência. Vamos usar o Teste da Comparação.

Passo 4

Escolhemos comparar com a série , que é a conhecida Série Harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.

Passo 5

Vamos comparar os termos das duas séries:
Isso mostra que cada termo da nossa série original é maior ou igual ao termo correspondente da série harmônica.

Passo 6

Segundo o Teste da Comparação Direta, se uma série tem termos maiores ou iguais aos termos de uma série divergente (ou seja, para todo ), então a série também diverge.

Passo 7

Como e a série harmônica diverge, concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Teste a série quanto a convergência ou divergência.
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