Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos analisar a série
. O assunto envolvido aqui é o teste de convergência de séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar comparar os termos da série com uma série conhecida ou usar um teste específico que nos ajude a determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, observe o comportamento dos termos
quando
cresce grande. Para isso, vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior termo de
presente no denominador, que é
:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0 e
também tende a 0. Assim, a fração se aproxima de:
Passo 3
Apesar de os termos tenderem a zero, isso não garante a convergência da série. Precisamos aplicar um teste de convergência. Vamos usar o Teste da Comparação.
Passo 4
Escolhemos comparar com a série
, que é a conhecida Série Harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.
Passo 5
Vamos comparar os termos das duas séries:
Isso mostra que cada termo da nossa série original é maior ou igual ao termo correspondente da série harmônica.
Passo 6
Segundo o Teste da Comparação Direta, se uma série
tem termos maiores ou iguais aos termos de uma série divergente
(ou seja,
para todo
), então a série
também diverge.
Passo 7
Como
e a série harmônica
diverge, concluímos que a série original
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Teste a série quanto a convergência ou divergência.
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