Resolva as equações diferenciais.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Isso aqui é uma equação diferencial de Bernoulli, que é um tipo específico que tem a forma . Para resolver, a gente vai precisar fazer uma substituição que vai simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação:
A equação de Bernoulli tem um termo , nesse caso , que a torna não linear. Para resolver, a gente faz uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Agora, reescrevemos a equação original em termos de :
Substituindo na equação original:

Passo 4

Dividindo tudo por para simplificar:
Como , temos . Então:
Multiplicando todos os termos por -1 para arrumar a equação:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
onde e .
Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pela :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , então:

Passo 9

Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
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Resolva as equações diferenciais.