Resolva as equações diferenciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Isso aqui é uma equação diferencial de Bernoulli, que é um tipo específico que tem a forma
. Para resolver, a gente vai precisar fazer uma substituição que vai simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação:
A equação de Bernoulli tem um termo
, nesse caso
, que a torna não linear. Para resolver, a gente faz uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, reescrevemos a equação original em termos de
:
Substituindo na equação original:
Passo 4
Dividindo tudo por
para simplificar:
Como
, temos
. Então:
Multiplicando todos os termos por -1 para arrumar a equação:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
onde
e
.
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Passo 9
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
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Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
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Resolva as equações diferenciais.