Resolva as equações diferenciais.
y' + x * y = 6 * x * raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vai precisar de algumas técnicas de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos deixar:
Isso significa que:
Então, a derivada de em relação a fica:

Passo 3

Substituindo e na equação original:
Agora, vamos dividir tudo por (assumindo que ):

Passo 4

Vamos reescrever essa equação para ficar mais fácil de resolver:
Essa é uma equação diferencial linear do tipo .

Passo 5

Para resolver, precisamos achar um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para calcular a integral, fazemos uma substituição simples:
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , então:
Elevando ao quadrado para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial:
(2y + raiz(x^2 - y^2)) dx - 2x dy = 0, x > 0 ; y(1) = 0
Resolva os problemas de valor inicial:
(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0, com x > 0 e y(1) = 2
Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx + x y = 1 - y, x > 0, y(1) = 0
Resolva os problemas de valor inicial:
x y' + 2 y = e^x + ln(x) ; x > 0, y(1) = 3/4.