Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vai precisar de algumas técnicas de substituição e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos deixar:
Isso significa que:
Então, a derivada de
em relação a
fica:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Agora, vamos dividir tudo por
(assumindo que
):
Passo 4
Vamos reescrever essa equação para ficar mais fácil de resolver:
Essa é uma equação diferencial linear do tipo
.
Passo 5
Para resolver, precisamos achar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular a integral, fazemos uma substituição simples:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, então:
Elevando ao quadrado para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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, com
e
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.