Resolva os problemas de valor inicial:
, com
e
Passo 1
Beleza, temos um problema de valor inicial com essa equação diferencial
e a condição inicial
. Vamos resolver isso usando técnicas de equações diferenciais, especificamente procurando uma solução que satisfaça essa condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
.
Calculamos a expressão:
Como essa expressão depende apenas de
, podemos integrar para encontrar o fator integrante
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, verificamos se a nova equação é exata.
Passo 5
Vamos definir:
Calculando as derivadas parciais:
Agora,
, então a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função de
.
Passo 7
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim,
, o que implica
é constante. Para simplificar, podemos considerar
.
Passo 8
A solução geral da equação é então:
Onde
é uma constante.
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 10
Finalmente, a solução particular que satisfaz a condição inicial é:
Podemos resolver para
em termos de
se necessário.
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é
.
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Resolva as equações diferenciais.