Resolva os problemas de valor inicial:
(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0, com x > 0 e y(1) = 2

Passo 1

Beleza, temos um problema de valor inicial com essa equação diferencial e a condição inicial . Vamos resolver isso usando técnicas de equações diferenciais, especificamente procurando uma solução que satisfaça essa condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se .
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de ou apenas de .
Calculamos a expressão:
Como essa expressão depende apenas de , podemos integrar para encontrar o fator integrante :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, verificamos se a nova equação é exata.

Passo 5

Vamos definir:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, , então a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
onde é uma função de .

Passo 7

Derivamos em relação a e igualamos a :
Assim, , o que implica é constante. Para simplificar, podemos considerar .

Passo 8

A solução geral da equação é então:
Onde é uma constante.

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, .

Passo 10

Finalmente, a solução particular que satisfaz a condição inicial é:
Podemos resolver para em termos de se necessário.

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é .

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