Resolva os problemas de valor inicial:
(2y + raiz(x^2 - y^2)) dx - 2x dy = 0, x > 0 ; y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é resolver a equação diferencial de valor inicial:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação que envolve derivadas de em termos de . Vamos precisar verificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata usando um fator integrante. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 3

Vamos calcular :
E :
Para a equação ser exata, essas duas derivadas deveriam ser iguais. Claro que não são, então a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de . O fator integrante para equações que dependem somente de pode ser encontrado usando:
Substituindo os valores que já temos:
Mas isso parece complicado demais, então vamos optar por outro método.

Passo 5

Observando a equação original, notamos que ela pode ser reorganizada para facilitar a resolução. Vamos dividir tudo por :
Agora, expressamos :
Isso ainda é complicado, mas vamos fazer uma substituição trigonométrica. Suponha que:
Então, .

Passo 6

Substituindo na equação original:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando a raiz:
Então:

Passo 7

Agora, simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, integramos ambos os lados:
Então:

Passo 8

Lembrando que , substituímos :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução da equação diferencial de valor inicial é:

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Resolva os problemas de valor inicial:
(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0, com x > 0 e y(1) = 2
Resolva os problemas de valor inicial:
y' = (y + 2 y^3 ln(x)) / x, com x > 0 e y(1) = -1
Resolva as equações diferenciais.
y' + x * y = 6 * x * raiz(y)
Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx + x y = 1 - y, x > 0, y(1) = 0