Beleza, vamos lá! O problema que temos é resolver a equação diferencial de valor inicial:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação que envolve derivadas de em termos de . Vamos precisar verificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata usando um fator integrante. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Passo 3
Vamos calcular :
E :
Para a equação ser exata, essas duas derivadas deveriam ser iguais. Claro que não são, então a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de . O fator integrante para equações que dependem somente de pode ser encontrado usando:
Substituindo os valores que já temos:
Mas isso parece complicado demais, então vamos optar por outro método.
Passo 5
Observando a equação original, notamos que ela pode ser reorganizada para facilitar a resolução. Vamos dividir tudo por :
Agora, expressamos :
Isso ainda é complicado, mas vamos fazer uma substituição trigonométrica. Suponha que:
Então, .
Passo 6
Substituindo na equação original:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando a raiz:
Então:
Passo 7
Agora, simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, integramos ambos os lados:
Então:
Passo 8
Lembrando que , substituímos :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução da equação diferencial de valor inicial é: