Resolva as equações de Euler para
:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de Euler dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de Euler. Esse tipo de equação é comum quando as funções envolvidas têm coeficientes que são potências de
. Para resolver, a gente precisa usar uma substituição que transforma a equação de Euler em uma equação com coeficientes constantes, facilitando a solução.
Passo 2
A primeira coisa que fazemos em equações de Euler é assumir uma solução da forma:
Onde
é um número que precisamos encontrar. Essa forma é escolhida porque, ao derivarmos, conseguimos expressar todas as derivadas em termos de
, o que simplifica a equação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Fatorando
:
Como
nunca é zero para
, podemos focar na expressão dentro dos colchetes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 7
Com os valores de
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação de Euler é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.