Resolva as equações de Euler para x > 0 :
© x^2 + 5 x y' - 5 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de Euler dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de Euler. Esse tipo de equação é comum quando as funções envolvidas têm coeficientes que são potências de . Para resolver, a gente precisa usar uma substituição que transforma a equação de Euler em uma equação com coeficientes constantes, facilitando a solução.

Passo 2

A primeira coisa que fazemos em equações de Euler é assumir uma solução da forma:
Onde é um número que precisamos encontrar. Essa forma é escolhida porque, ao derivarmos, conseguimos expressar todas as derivadas em termos de , o que simplifica a equação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação original:
Simplificando cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Fatorando :
Como nunca é zero para , podemos focar na expressão dentro dos colchetes:
Simplificando:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , :
Então, temos duas soluções para :

Passo 7

Com os valores de , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação de Euler é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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