Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Calculando as derivadas de :
Substituindo essas expressões na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Fatorando :
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:

Passo 4

Resolvendo a equação para :
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 5

Como temos uma raiz dupla , as soluções da equação homogênea são:
Aqui, e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Usaremos o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea . Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para simplificar, aplicamos a condição de que:
Isso nos ajuda a reduzir as derivadas.

Passo 8

Substituindo e suas derivadas na equação original e aplicando a condição acima, obtemos um sistema de equações para e . Resolvendo esse sistema, encontramos:

Passo 9

Integrando e para encontrar e :

Passo 10

Substituindo e na expressão de :

Passo 11

Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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