Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Esse tipo de equação é conhecida como equação de Cauchy-Euler. Para resolver, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Substituindo essas expressões na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos colchetes a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação para
:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 5
Como temos uma raiz dupla
, as soluções da equação homogênea são:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Usaremos o método de variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da homogênea
. Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para simplificar, aplicamos a condição de que:
Isso nos ajuda a reduzir as derivadas.
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação original e aplicando a condição acima, obtemos um sistema de equações para
e
. Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 9
Integrando
e
para encontrar
e
:
Passo 10
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 11
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva as equações de Euler para
:
©
©
Resolva os problemas de valor inicial:
(g)
(g)
Resolva os problemas de valor inicial:
(i)
(i)
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
(d)
(d)