Resolva os problemas de valor inicial:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
O que a gente precisa fazer é resolver essa equação para encontrar a função
que satisfaz tanto a equação quanto as condições iniciais. Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrando a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito. A equação homogênea fica:
Para resolver isso, a gente monta a equação característica associada:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas:
e
.
Passo 3
Como as raízes são complexas, a solução da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
O lado direito é uma combinação linear de e
. Então, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na expressão de
:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Agora, a derivada
:
Simplificando na hora de
:
Como
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: