Resolva os problemas de valor inicial:
© x'' + 2x' + 2x = sen(2t) + cos(2t), x(0) = 0, x'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
O que a gente precisa fazer é resolver essa equação para encontrar a função que satisfaz tanto a equação quanto as condições iniciais. Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrando a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito. A equação homogênea fica:
Para resolver isso, a gente monta a equação característica associada:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas: e .

Passo 3

Como as raízes são complexas, a solução da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar depois usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
O lado direito é uma combinação linear de e . Então, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar para substituir na equação:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :
Então, a solução particular é:

Passo 7

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Agora, a derivada :
Simplificando na hora de :
Como :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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