Resolva as equações exponenciais: d) 3^(2x-1) * 5^(3x+2) = 9/5 * 5^(2x) * 3^(3x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente tem uma equação exponencial que envolve potências de 3 e 5. Nosso objetivo aqui é descobrir o valor de que faz essa igualdade ser verdadeira. Para resolver, vamos usar umas propriedades das potências e talvez uns logaritmos, se precisar.

Passo 2

Primeiro passo é simplificar os dois lados da equação usando as regras das potências. Olha só, dá pra reescrever como , porque e .

Passo 3

Substituindo isso na equação original, fica assim:

Passo 4

Agora, vamos juntar as potências de 3 e as de 5 de cada lado:
  • Do lado esquerdo:
  • Do lado direito:

Passo 5

Como as bases são iguais (tanto para 3 quanto para 5), os expoentes também precisam ser iguais para a igualdade valer. Então, vamos igualar os expoentes de cada base separadamente:
  • Para a base 3:
  • Para a base 5:

Passo 6

Vamos resolver a equação da base 3 primeiro:
Subtraindo dos dois lados:
Agora, subtraindo 2 dos dois lados:

Passo 7

Agora, vamos conferir a equação da base 5 para garantir que está tudo certo:
Subtraindo dos dois lados:
Subtraindo 2 dos dois lados:

Resposta

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