Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A gente tem uma integral tripla sobre uma região no espaço tridimensional, definida pelas desigualdades:
E a integral que queremos calcular é:
Vamos resolver isso usando uma transformação de variáveis. Precisamos mudar de coordenadas para simplificar a integral, utilizando:
Para isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis na integral e encontrar o Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Vamos começar encontrando as expressões de , e em termos de , e . Temos:
Queremos resolver esse sistema para , e . A partir da equação (3), já sabemos que .
Somando as equações (1) e (2):
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano é dado pela matriz das derivadas parciais de , , em relação a , , :
Calculando as derivadas:
Então, o Jacobiano fica:
Calculando o determinante:
Portanto, o valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 4
Vamos agora determinar os novos limites de integração em termos das variáveis 0 <= u <= 1, 1 <= v <= 2, 0 <= w <= 1 , 0 <= u <= 1 e 1 <= v <= 2 . As desigualdades definindo a região 0 <= w <= 1 são:
Então, os limites para , e são:
Isso simplifica bastante a região de integração, agora retangular no espaço .
Passo 5
Substituindo as variáveis e o Jacobiano na integral original, temos:
I = integral triplaR e^uv cdot | J | , du , dv , dw = integral triplaR' e^uv cdot 12 , du , dv , dw
Onde I = 12 integral0^1 integral1^2 integral0^1 e^uv , dw , dv , du é a nova região com os limites encontrados. Como a integral é sobre I = 12 integral0^1 integral1^2 e^uv , dv , du , e separadamente, podemos integrar cada variável uma de cada vez:
Como a expressão não depende de , a integral em é simplesmente . Então, simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos resolver as integrais restantes. Primeiro, integramos em integral1^2 1v , dv = ln v |1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 :
I = 12 cdot ln 2 cdot integral0^1 e^u , du
Então, a integral fica:
integral0^1 e^u , du = e^u |0^1 = e - 1
Agora, integramos em I = 12 cdot ln 2 cdot (e - 1) :