Seja R a região do espaço dado por 0 <= x-y+z <= 1, 1 <= x+y-z <= 2 e 0 <= z <= 1. Calcule:
I=integral triplaR^U e^x-y+zx+y-z d x d y d z
Mediante a transformação u=x-y+z, v=x+y-z e w=z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A gente tem uma integral tripla sobre uma região 0 <= x - y + z <= 1, 1 <= x + y - z <= 2, 0 <= z <= 1 no espaço tridimensional, definida pelas desigualdades:
I = integral triplaR e^x - y + zx + y - z , dx , dy , dz
E a integral que queremos calcular é:
u = x - y + z, v = x + y - z, w = z
Vamos resolver isso usando uma transformação de variáveis. Precisamos mudar de coordenadas para simplificar a integral, utilizando:
Para isso, vamos precisar entender como mudar as variáveis na integral e encontrar o Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Vamos começar encontrando as expressões de u = x - y + z (1) , v = x + y - z (2) e w = z (3) em termos de u + v = (x - y + z) + (x + y - z) = 2x implies x = u + v2 , v - u = (x + y - z) - (x - y + z) = 2y - 2z = 2y - 2w implies y = v - u2 + w e x = u + v2, y = v - u2 + w, z = w . Temos:
Queremos resolver esse sistema para , e . A partir da equação (3), já sabemos que .
Somando as equações (1) e (2):
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w é dado pela matriz das derivadas parciais de partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12, partial xpartial w = 0 , partial ypartial u = -12, partial ypartial v = 12, partial ypartial w = 1 , partial zpartial u = 0, partial zpartial v = 0, partial zpartial w = 1 em relação a J = 12 & 12 & 0 -12 & 12 & 1 0 & 0 & 1 , J = 12 cdot ( 12 cdot 1 - 1 cdot 0 ) - 12 cdot ( -12 cdot 1 - 1 cdot 0 ) + 0 = 14 + 14 = 12 , :
Calculando as derivadas:
Então, o Jacobiano fica:
Calculando o determinante:
Portanto, o valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 4

Vamos agora determinar os novos limites de integração em termos das variáveis 0 <= u <= 1, 1 <= v <= 2, 0 <= w <= 1 , 0 <= u <= 1 e 1 <= v <= 2 . As desigualdades definindo a região 0 <= w <= 1 são:
Então, os limites para , e são:
Isso simplifica bastante a região de integração, agora retangular no espaço .

Passo 5

Substituindo as variáveis e o Jacobiano na integral original, temos:
I = integral triplaR e^uv cdot | J | , du , dv , dw = integral triplaR' e^uv cdot 12 , du , dv , dw
Onde I = 12 integral0^1 integral1^2 integral0^1 e^uv , dw , dv , du é a nova região com os limites encontrados. Como a integral é sobre I = 12 integral0^1 integral1^2 e^uv , dv , du , e separadamente, podemos integrar cada variável uma de cada vez:
Como a expressão não depende de , a integral em é simplesmente . Então, simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos resolver as integrais restantes. Primeiro, integramos em integral1^2 1v , dv = ln v |1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 :
I = 12 cdot ln 2 cdot integral0^1 e^u , du
Então, a integral fica:
integral0^1 e^u , du = e^u |0^1 = e - 1
Agora, integramos em I = 12 cdot ln 2 cdot (e - 1) :
Portanto:

Resposta

O valor da integral é:
I = 12 cdot ln 2 cdot (e - 1)

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