Sejam p, q e r números inteiros. Prove que: © Se p e q são divisíveis por r, então p + q são divisíveis por r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três números inteiros , e . Sabemos que tanto quanto são divisíveis por . Nosso objetivo é provar que a soma desses dois números, ou seja, , também é divisível por .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de divisibilidade e algumas propriedades básicas da álgebra.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa um número ser divisível por outro. Dizemos que um número é divisível por se existe um número inteiro tal que:
No nosso caso, como e são divisíveis por , podemos escrever:
onde e são números inteiros.

Passo 3

Agora, vamos somar e :
Aqui, vemos que ambos os termos possuem o em comum. Podemos fatorar o :

Passo 4

Observamos que também é um número inteiro, já que a soma de dois inteiros é sempre um inteiro. Vamos chamar , onde é um número inteiro.
Assim, a expressão fica:

Passo 5

De acordo com a definição de divisibilidade que vimos no Passo 2, se pode ser escrito como multiplicado por um número inteiro , isso significa que é divisível por .

Resposta

Portanto, provamos que se e são divisíveis por , então a soma também é divisível por .

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