Seja R a região do plano
limitada pelos eixos
e
e pela reta
. Dada a transformação
e
.
(a) Esboce a imagem
de
pela transformação dada.
(b) Calcule
(a) Esboce a imagem
(b) Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma região
no plano
definida pelos eixos
e
e pela reta
. O conteúdo aqui envolve transformações de coordenadas e cálculo de integrais duplas. Para resolver, precisamos entender como a transformação
e
altera a região
e como calcular a integral sobre a nova região
.
Passo 2
Vamos começar esboçando a imagem
da região
pela transformação dada. Primeiro, identificamos os limites da região
:
- Os eixos
e correspondem a e . - A reta
.
Então, os vértices da região
são:
-
-
quando -
quando
Passo 3
Agora, aplicamos a transformação
e
a cada vértice para encontrar os vértices de
:
-
Para
: Então,. -
Para
: Então,. -
Para
: Então,.
Passo 4
Com os vértices de
, podemos esboçar a imagem da transformação. A região
será um triângulo com vértices em
,
e
. Isso significa que a transformação mapeia a região triangular original para outra região triangular no plano
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dupla
Para resolver isso, precisamos determinar os limites de integração na nova região
.
Observando
,
varia de 0 a 2. Para cada
,
varia de uma linha inferior a uma linha superior. As linhas são
e
, mas precisamos relacionar
em função de
.
No triângulo
:
- A linha que conecta
a tem a equação . - A linha que conecta
a tem a equação .
Então, para cada
de 0 a 2,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral como:
Vamos resolver a integral interna em
primeiro.
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral:
Quando
:
Quando
:
Então, a integral interna se transforma em:
Integrando:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 9
Primeira integral:
Fazendo a substituição:
A integral torna-se:
Voltando para
:
Avaliada de 0 a 2:
Passo 10
Segunda integral:
Então, a expressão completa é:
Resposta
O valor da integral
é
.