Seja R a região do plano u v limitada pelos eixos u e v e pela reta u+v=2. Dada a transformação x=u+v e y=u^2-v.
(a) Esboce a imagem R^prime de R pela transformação dada.
(b) Calcule
I=integral duplaR^prime d x d yraiz1+4 x+4 y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma região no plano definida pelos eixos e e pela reta . O conteúdo aqui envolve transformações de coordenadas e cálculo de integrais duplas. Para resolver, precisamos entender como a transformação e altera a região e como calcular a integral sobre a nova região .

Passo 2

Vamos começar esboçando a imagem da região pela transformação dada. Primeiro, identificamos os limites da região :
  • Os eixos e correspondem a e .
  • A reta .
Então, os vértices da região são:
  • quando
  • quando

Passo 3

Agora, aplicamos a transformação x = 0 + 0 = 0 y = 0^2 - 0 = 0 e x = 2 + 0 = 2 y = 2^2 - 0 = 4 a cada vértice para encontrar os vértices de x = 0 + 2 = 2 y = 0^2 - 2 = -2 :
  1. Para :
    Então, .
  2. Para :
    Então, .
  3. Para :
    Então, .

Passo 4

Com os vértices de , podemos esboçar a imagem da transformação. A região será um triângulo com vértices em , e . Isso significa que a transformação mapeia a região triangular original para outra região triangular no plano .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla
I = integral duplaR' dx , dyraiz1 + 4x + 4y
Para resolver isso, precisamos determinar os limites de integração na nova região .
Observando , varia de 0 a 2. Para cada , varia de uma linha inferior a uma linha superior. As linhas são e , mas precisamos relacionar em função de .
No triângulo :
  • A linha que conecta a tem a equação .
  • A linha que conecta a tem a equação .
Então, para cada de 0 a 2, varia de a .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral como:
I = integral0^2 integral-x^2x dy , dxraiz1 + 4x + 4y
Vamos resolver a integral interna em primeiro.

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral:
u = 1 + 4x + 4y dudy = 4 Rightarrow dy = du4
Quando u = 1 + 4x + 4(-x) = 1 :
u = 1 + 4x + 4(2x) = 1 + 12x
Quando integral1^1 + 12x 1raizu cdot du4 = 14 integral1^1 + 12x u^-1/2 du :
14 [ 2u^1/2 ]1^1 + 12x = 12 ( raiz1 + 12x - 1 )
Então, a integral interna se transforma em:
Integrando:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
I = integral0^2 12 ( raiz1 + 12x - 1 ) dx = 12 integral0^2 raiz1 + 12x , dx - 12 integral0^2 1 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 9

Primeira integral:
integral raiz1 + 12x , dx
Fazendo a substituição:
t = 1 + 12x dt = 12 dx Rightarrow dx = dt12
A integral torna-se:
integral raizt cdot dt12 = 112 cdot 23 t^3/2 + C = 118 t^3/2 + C
Voltando para 118 (1 + 12x)^3/2 :
118 [ (1 + 24)^3/2 - (1)^3/2 ] = 118 [ 25^3/2 - 1 ] = 118 (125 - 1) = 12418 = 629
Avaliada de 0 a 2:

Passo 10

Segunda integral:
integral0^2 1 , dx = 2
Então, a expressão completa é:
I = 12 ( 629 ) - 12 (2) = 319 - 1 = 31 - 99 = 229

Resposta

O valor da integral é .

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