Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos a equação diferencial e precisamos encontrar a solução dessa equação que satisfaça a condição inicial . Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais homogêneas para resolver isso.

Passo 2

Observando a equação, notamos que ela é homogênea. Isso significa que os termos , e têm o mesmo grau (neste caso, grau 2). Quando a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição que simplifica a resolução.

Passo 3

Vamos fazer a substituição , ou seja, . Dessa forma, podemos expressar a derivada em termos de e :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Dividindo ambos os lados por (já que ):
Expandindo o lado direito:
Rearranjando os termos:

Passo 6

Isolando :
Podemos separar as variáveis e :

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Para a integral à esquerda, fazemos a substituição , então , o que simplifica a integral para:

Passo 8

Aplicando a condição inicial , encontramos a constante . Substituindo e :
Então, a solução geral é:
Substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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