Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de
sujeita a condição inicial
Determine a solução de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos a equação diferencial
e precisamos encontrar a solução dessa equação que satisfaça a condição inicial
. Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais homogêneas para resolver isso.
Passo 2
Observando a equação, notamos que ela é homogênea. Isso significa que os termos
,
e
têm o mesmo grau (neste caso, grau 2). Quando a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição que simplifica a resolução.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, ou seja,
. Dessa forma, podemos expressar a derivada
em termos de
e
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
(já que
):
Expandindo o lado direito:
Rearranjando os termos:
Passo 6
Isolando
:
Podemos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Para a integral à esquerda, fazemos a substituição
, então
, o que simplifica a integral para:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
, encontramos a constante
. Substituindo
e
:
Então, a solução geral é:
Substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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seny
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