Resolva as equações homogêneas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea. A equação dada é
. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar substituições que simplificam a equação, geralmente usando uma substituição do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma de
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Então, isolando
:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição
. Isso significa que
. Então, a derivada de
em relação a
será:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Passo 5
Simplificando a equação, fazemos:
Reescrevendo:
Passo 6
Essa equação é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados:
A integral da esquerda pode ser dividida:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Substituindo de volta
:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
seny
seny
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial
Determine a solução de
Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.