Resolva as equações homogêneas abaixo:
(x+y) dx + (y-x) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea. A equação dada é . Para resolver esse tipo de equação, a gente vai precisar usar substituições que simplificam a equação, geralmente usando uma substituição do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma de . Dividindo ambos os lados por , temos:
Então, isolando :

Passo 3

Agora, fazemos a substituição . Isso significa que . Então, a derivada de y em relação a x será:

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:

Passo 5

Simplificando a equação, fazemos:
Reescrevendo:

Passo 6

Essa equação é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis v e x:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados:
A integral da esquerda pode ser dividida:
Integrando termo a termo:

Passo 8

Substituindo de volta :
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante de integração.

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