Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial exata que você enviou:
Aqui, o conteúdo envolve Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar a função solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que sabemos que é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando a :
Isso simplifica para:
Integrando, obtemos:
Onde é uma constante.

Passo 6

Então, a função fica:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear como outra constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial
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Determine a solução de sujeita a condição inicial .