Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial exata que você enviou:
Aqui, o conteúdo envolve Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar a função solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de uma equação diferencial:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que sabemos que é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Isso simplifica para:
Integrando, obtemos:
Onde
é uma constante.
Passo 6
Então, a função
fica:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como outra constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
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.
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