Resolva as equações ou inequações seguintes:
Passo 1
Vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos trabalhando com logaritmos cujo a base é 0,5. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos, especialmente quando a base é menor que 1, e também garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo só está definido para números positivos. Então, vamos estabelecer as condições para que os argumentos dos logaritmos sejam maiores que zero:
Passo 3
Vamos resolver cada uma dessas desigualdades separadamente.
Para
:
Simplificando
:
Então:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos combinar as duas condições para encontrar o intervalo de
que satisfaz ambas:
Como
deve ser maior que 0, a parte
não é válida. Portanto, a condição final para o domínio é:
Passo 5
Agora que estabelecemos o domínio, vamos resolver a inequação original:
Sabemos que quando a base do logaritmo é menor que 1 (como é o caso de 0,5), a função logarítmica é decrescente. Isso significa que se
e
, então
.
Aplicando isso à nossa inequação:
Passo 6
Vamos resolver a inequação quadrática:
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado:
Agora, resolvemos a equação quadrática correspondente para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 7
Agora, sabemos que a inequação
é satisfeita para:
Mas lembrando do nosso domínio original onde
, a parte
não é válida. Portanto, a solução final dentro do domínio é:
Resposta
A solução da inequação é
.