Resolva as equações ou inequações seguintes:
log_0.5(x^2 - 8) <= log_0.5(7 x)

Passo 1

Vamos resolver a inequação . Aqui, estamos trabalhando com logaritmos cujo a base é 0,5. Para resolver essa inequação, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos, especialmente quando a base é menor que 1, e também garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo só está definido para números positivos. Então, vamos estabelecer as condições para que os argumentos dos logaritmos sejam maiores que zero:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas desigualdades separadamente.
Para :
Simplificando :
Então:
Para :

Passo 4

Agora, vamos combinar as duas condições para encontrar o intervalo de x que satisfaz ambas:
Como x deve ser maior que 0, a parte não é válida. Portanto, a condição final para o domínio é:

Passo 5

Agora que estabelecemos o domínio, vamos resolver a inequação original:
Sabemos que quando a base do logaritmo é menor que 1 (como é o caso de 0,5), a função logarítmica é decrescente. Isso significa que se e , então .
Aplicando isso à nossa inequação:

Passo 6

Vamos resolver a inequação quadrática:
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado:
Agora, resolvemos a equação quadrática correspondente para encontrar os valores de x:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora, sabemos que a inequação é satisfeita para:
Mas lembrando do nosso domínio original onde , a parte não é válida. Portanto, a solução final dentro do domínio é:

Resposta

A solução da inequação é x ≥ 8.

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