valor médio de F sobre U=1 volumede U integral triplaU F d V
Lembre-se: As coordenadas elipsoidais são definidas pela fórmula:
r(rho, phi, theta)=(a rho sen phi cos theta, b rho sen phi sen theta, c rho cos phi)
Neste sistema 0 <= rho <= 1,0 <= phi <= pi e 0 <= theta <= 2 pi e
J(rho, phi, theta)= abc rho^2 sen phi
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é calcular o valor médio de uma função x^29 + y^24 + z^2 <= 1 sobre uma região que é um elipsoide. O enunciado define essa região como todos os pontos em que satisfazem a equação:
Para resolver isso, vamos usar coordenadas elipsoidais. Precisamos entender como mudar as coordenadas e calcular o volume do elipsoide para então encontrar o valor médio de .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os semi-eixos do elipsoide. A equação geral de um elipsoide é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 <= 1
Comparando com a equação dada:
a = 3, b = 2, c = 1
Então, nossos semi-eixos são , e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume do elipsoide Volume = 43 pi a b c . A fórmula do volume de um elipsoide é:
Volume = 43 pi times 3 times 2 times 1 = 8pi
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos configurar a integral tripla para calcular o valor médio de r(rho, phi, theta) = (3rho sin phi cos theta, , 2rho sin phi sin theta, , 1rho cos phi) sobre J(rho, phi, theta) = a cdot b cdot c cdot rho^2 sin phi = 3 times 2 times 1 times rho^2 sin phi = 6rho^2 sin phi . Em coordenadas elipsoidais, temos:
integral triplaU F , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 F(3rho sin phi cos theta, , 2rho sin phi sin theta, , rho cos phi) times 6rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
O jacobiano dessa transformação é:
Então, a integral tripla fica:
Passo 5
Finalmente, o valor médio de Valor Médio de F = 1Volume de U integral triplaU F , dV = 18pi times integral triplaU F , dV sobre Valor Médio de F = 18pi integral0^2pi integral0^pi integral0^1 F(3rho sin phi cos theta, , 2rho sin phi sin theta, , rho cos phi) times 6rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta é dado por:
é
Substituindo a integral que montamos:
é
Resposta
O valor médio de 18pi integral0^2pi integral0^pi integral0^1 F(3rho sin phi cos theta, , 2rho sin phi sin theta, , rho cos phi) times 6rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta sobre a região é: