Resolva as equações ou inequações seguintes:
log(x+2) + log(x+3) > log(12)

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma inequação envolvendo logaritmos: . Vamos resolver isso! Para isso, vamos precisar entender como somar logaritmos e como resolver inequações logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de dois logaritmos com a mesma base pode ser transformada em um único logaritmo multiplicando os argumentos. Ou seja, . Então, aplicando isso na nossa inequação:
Portanto, nossa inequação fica:

Passo 3

Agora, para resolver essa inequação, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que se , então , desde que A e B sejam positivos. Então, removendo os logaritmos:
Mas antes de continuar, precisamos garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos, ou seja:
Isso significa que:
Como x precisa satisfazer ambas as condições, a restrição final é .

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, expandimos a expressão:
Simplificando:
Subtraindo 12 de ambos os lados:

Passo 5

Vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontramos as raízes da equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:

Passo 6

Agora, sabemos que a parábola corta o eixo x nos pontos e x = 1. Como o coeficiente de é positivo, a parábola abre para cima. Portanto, a inequação é verdadeira nas regiões onde ou .

Passo 7

Lembrando da restrição que , vamos combinar com as soluções da inequação quadrática. A solução não satisfaz , então descartamos essa parte. A única solução válida é .

Resposta

A solução da inequação é .

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