Resolva as equações ou inequações seguintes:
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é uma inequação envolvendo logaritmos:
. Vamos resolver isso! Para isso, vamos precisar entender como somar logaritmos e como resolver inequações logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma de dois logaritmos com a mesma base pode ser transformada em um único logaritmo multiplicando os argumentos. Ou seja,
. Então, aplicando isso na nossa inequação:
Portanto, nossa inequação fica:
Passo 3
Agora, para resolver essa inequação, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que se
, então
, desde que
e
sejam positivos. Então, removendo os logaritmos:
Mas antes de continuar, precisamos garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos, ou seja:
Isso significa que:
Como
precisa satisfazer ambas as condições, a restrição final é
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, expandimos a expressão:
Simplificando:
Subtraindo 12 de ambos os lados:
Passo 5
Vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 6
Agora, sabemos que a parábola
corta o eixo x nos pontos
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima. Portanto, a inequação
é verdadeira nas regiões onde
ou
.
Passo 7
Lembrando da restrição que
, vamos combinar com as soluções da inequação quadrática. A solução
não satisfaz
, então descartamos essa parte. A única solução válida é
.
Resposta
A solução da inequação é
.