Sejam f(x) = x - 4, g(x) = -2x + 6 e h(x) = x^2 - 7x + 10. Resolva f(x) g(x) / h(x) < 0.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma inequação que envolve funções lineares e quadráticas: , onde , e . Vamos usar conhecimentos de álgebra, como fatoração e análise de sinais, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador multiplicando f(x) e g(x). Então temos:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. São -5 e -2. Então:

Passo 4

Vamos reescrever a inequação com os fatores encontrados:

Passo 5

Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero: , (resolvendo x = 3), e x = 2. Esses pontos dividem a reta real em intervalos que vamos analisar.

Passo 6

Vamos fazer uma tabela de sinais para cada intervalo definido pelos pontos críticos:
  • Para
  • Entre
  • Entre
  • Entre
  • Para

Passo 7

Analisando cada fator em cada intervalo:
  • : muda de negativo para positivo em x = 4
  • : muda de positivo para negativo em x = 3
  • : muda de negativo para positivo em x = 5
  • : muda de negativo para positivo em x = 2

Passo 8

Multiplicando os sinais dos fatores e dividindo pelos sinais do denominador em cada intervalo:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :

Passo 9

Estamos procurando onde a expressão é menor que zero, ou seja, onde os sinais são negativos. Observamos que isso acontece nos intervalos:

Resposta

A solução da inequação é .

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