Sejam
e
. Resolva
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma inequação que envolve funções lineares e quadráticas:
, onde
,
e
. Vamos usar conhecimentos de álgebra, como fatoração e análise de sinais, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador multiplicando
e
. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. São -5 e -2. Então:
Passo 4
Vamos reescrever a inequação com os fatores encontrados:
Passo 5
Identificamos os pontos críticos onde o numerador ou denominador é zero:
,
(resolvendo
dá
),
e
. Esses pontos dividem a reta real em intervalos que vamos analisar.
Passo 6
Vamos fazer uma tabela de sinais para cada intervalo definido pelos pontos críticos:
- Para
- Entre
- Entre
- Entre
- Para
Passo 7
Analisando cada fator em cada intervalo:
-
: muda de negativo para positivo em -
: muda de positivo para negativo em -
: muda de negativo para positivo em -
: muda de negativo para positivo em
Passo 8
Multiplicando os sinais dos fatores e dividindo pelos sinais do denominador em cada intervalo:
-
: -
: -
: -
: -
:
Passo 9
Estamos procurando onde a expressão é menor que zero, ou seja, onde os sinais são negativos. Observamos que isso acontece nos intervalos:
Resposta
A solução da inequação é
.