Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método do fator integrante. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos em toda a equação para torná-la mais fácil de resolver. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante pela função
. Ou seja:
Isso acontece porque:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
E a integral do lado direito é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando
:
Passo 8
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(g)
(g)
Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
a)
a)