Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método do fator integrante. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e integrar a equação facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso, comparando com a equação dada:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos em toda a equação para torná-la mais fácil de resolver. O fator integrante, , é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante pela função . Ou seja:
Isso acontece porque:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
E a integral do lado direito é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Simplificando :

Passo 8

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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(g)
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