Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é
para
. A matéria que vamos usar aqui é o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar reorganizar a equação para colocar no formato padrão e encontrar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação original por
(já que temos
). Assim:
Simplificando:
Agora, temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Como o fator integrante pode ignorar a constante de integração, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Para resolver a integral do lado direito, fazemos a substituição
, então
, o que implica
. Assim:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
a)
a)
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)
i)