Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é para . A matéria que vamos usar aqui é o método do fator integrante, que ajuda a resolver equações lineares de primeira ordem. Vamos precisar reorganizar a equação para colocar no formato padrão e encontrar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem: . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação original por (já que temos ). Assim:
Simplificando:
Agora, temos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Como o fator integrante pode ignorar a constante de integração, temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Para resolver a integral do lado direito, fazemos a substituição , então , o que implica . Assim:

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

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