Resolva as equações:
(a) log(9)x = 1 / log(1/2)
(b) log_3(2x-1) = 4
© log_2(log_x(x+2)) = 1

Passo 1

Vamos resolver a equação (a) log(9)x = 1 / log(1/2). Esse exercício envolve logaritmos, que é um conteúdo de matemática. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com logaritmos de bases diferentes e como manipular suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação log(9)x = 1 / log(1/2) significa. O logaritmo significa que . Então, podemos reescrever a equação assim:

Passo 3

Calculando , temos:
Isso nos dá outro logaritmo para resolver: .

Passo 4

Aplicando a definição do logaritmo novamente, significa que:

Passo 5

Calculando , sabemos que isso é a raiz quadrada de 9:

Passo 6

Vamos resolver a equação (b) log_3(2x-1) = 4. Este exercício também trata de logaritmos, especificamente de como resolver equações logarítmicas exponenciais. Precisamos utilizar as propriedades dos logaritmos para isolar a variável x.

Passo 7

Entendendo a equação log_3(2x-1) = 4, sabemos que isso significa que .

Passo 8

Calculando :
Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos isolar x. Primeiro, adicionamos 1 em ambos os lados da equação:

Passo 10

Finalmente, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar x:

Passo 11

Vamos resolver a equação © log_2(log_x(x+2)) = 1. Este exercício envolve logaritmos aninhados, ou seja, um logaritmo dentro de outro. Precisamos aplicar as propriedades dos logaritmos para simplificar e encontrar o valor de x.

Passo 12

Começamos entendendo a equação log_2(log_x(x+2)) = 1. Isso significa que:

Passo 13

Agora, resolvemos . Aplicando a definição do logaritmo, isso significa que:

Passo 14

Vamos reorganizar a equação para resolver para x:

Passo 15

Resolvendo a equação quadrática :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 16

Verificamos as soluções no contexto dos logaritmos. O logaritmo está definido apenas para números positivos, então x deve ser positivo e diferente de 1:
  • x = 2 é válido.
  • não é válido, pois não podemos ter logaritmo de base negativa.

Resposta

A solução da equação é x = 2.

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