Resolva as equações. log_4(x^2 - 4x + 3) = 1/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação logarítmica: log_4(x^2 - 4x + 3) = 1/2. A matéria aqui envolve logaritmos e equações quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar logaritmos em exponenciais e depois resolver a equação quadrática resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se , isso significa que . Então, aplicando isso à nossa equação:

Passo 3

Agora, calculamos . Exponenciação com expoente 1/2 é a mesma coisa que a raiz quadrada. Então:

Passo 4

Substituímos isso de volta na equação:
Vamos simplificar subtraindo 2 de ambos os lados:

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática: . Para resolver isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que diz:
Onde, para nossa equação, , , e .

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
Simplificando a raiz quadrada:
Então:

Passo 7

Por fim, precisamos verificar se as soluções encontradas são válidas no contexto da equação original, ou seja, se o argumento do logaritmo é positivo.
Para :
Para :
Como ambos satisfazem a condição, são válidos.

Resposta

As soluções da equação são e .

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