Resolva as equações: y'' + y' + 4y = 2 senh(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício está na matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é dada por . Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas e podem ser escritas como:

Passo 5

Com as raízes complexas, a solução complementar é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , que é uma função hiperbólica, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes dos termos e :

Passo 10

Resolvemos o sistema de equações:
Da equação (2), . Substituindo na equação (1):
Então, .

Passo 11

Agora, temos a solução particular:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é
onde e são constantes arbitrárias.

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