Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício está na matéria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (chamada de solução complementar) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é dada por
. Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas e podem ser escritas como:
Passo 5
Com as raízes complexas, a solução complementar é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, que é uma função hiperbólica, assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes dos termos
e
:
Passo 10
Resolvemos o sistema de equações:
Da equação (2),
. Substituindo na equação (1):
Então,
.
Passo 11
Agora, temos a solução particular:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias.
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.
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