Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v = y / x: (x + raiz(x y)) * dy/dx + x - y = x^(-1/2) * y^(3/2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial:
Esse problema está dentro do conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente envolvendo uma mudança de variável. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição , que vai simplificar a equação e facilitar nossa vida. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
Usando a regra do produto para a derivada, temos:
Então, substituímos e na equação original:

Passo 3

Vamos simplificar os termos passo a passo. Primeiro, note que:
Substituindo de volta na equação:
Agora, simplificamos mais:
Observe que , então:

Passo 4

Vamos dividir todos os termos por para simplificar:
Expandindo o primeiro termo:
Simplificando os termos:
Os termos se cancelam:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, isolamos :
Dividindo ambos os lados por :
Essa forma sugere uma equação separável, onde podemos separar as variáveis e para integrar.

Passo 6

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e multiplicando por :
Agora, temos:
Vamos integrar ambos os lados.

Passo 7

Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Igualando as integrais:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = x^2 - y, y(0) = 0
Sabe-se que o campo F=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
(12.2) Calcule integralr F cdot d r, onde r é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1)
Seja um campo de forças dado por F(x, y, z) = (3 x^2 y z + e^z, x^3 z, x^3 y + x e^z + 3 z^2).
(15.2) Calcule o trabalho realizado por F para mover uma particula ao longo da curva r, interseção da superfície z = 1 - x^2 (onde z >= 0 ), com o plano y + z = 1, orientada no sentido do crescimento de x.
Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = -3y, y(0) = 1