Resolva as equações via coeficientes variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Essa é uma equação com coeficientes variáveis, o que significa que os coeficientes das derivadas (como aqui) não são constantes. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis e utilizar métodos específicos para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação em parte homogênea e parte não homogênea. A parte homogênea é e a parte não homogênea é . Vamos resolver a parte homogênea primeiro.

Passo 3

Na parte homogênea , vamos tentar uma solução do tipo . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .

Passo 4

Com os valores de , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos assumir que a solução particular tem a forma de um polinômio, já que o lado direito é um polinômio. Vamos supor:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Isso não faz sentido, pois o lado esquerdo é constante e o lado direito não. Então, nossa suposição estava errada. Vamos tentar uma forma diferente para .

Passo 7

Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Comparando os termos:
E o termo com deve ser zero:
Mas isso entra em contradição com . Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição.

Passo 8

Vamos tentar uma solução particular sem termos com :
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Novamente, não funciona. Isso mostra que nossa suposição inicial não é adequada. Vamos então tentar uma solução particular da forma:
E aceitar que teremos que ajustar os termos.

Passo 9

Na verdade, percebemos que a solução particular não está sendo encontrada facilmente com métodos simples. Então, vamos optar pelo método de variação dos parâmetros. Para isso, usamos a solução homogênea e assumimos que a solução particular é:
onde e são funções de .

Passo 10

Calculando as derivadas de :
Mas isso fica muito complicado. Vamos simplificar o método. Como a parte homogênea já cobre , precisamos multiplicar nossa suposição inicial por .

Passo 11

Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser iguais:
E não há termo constante igual a . Isso significa que precisamos ajustar novamente nossa suposição.

Passo 12

Finalmente, vamos assumir que a solução particular é uma constante, já que os termos anteriores não funcionaram:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso também não funciona. Parece que a equação não admite uma solução particular simples. Portanto, a solução geral é apenas a homogênea.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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