Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (e) y'' + 5y = 4y'

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial homogênea do tipo . Isso está ligado ao conteúdo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e achar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão igualada a zero. Subtraímos dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos criar a equação característica, que serve para encontrar as soluções da equação diferencial. Substituímos por , por , e por 1:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para achar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação diferencial envolve termos exponenciais e funções trigonométricas. A fórmula fica assim:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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