Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (a)
Passo 1
Ok, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada:
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de ordem superior. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Aqui,
representa a terceira derivada de
em relação a
, e
é a segunda derivada.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos procurar soluções da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo
na equação diferencial:
Podemos fatorar
(que nunca é zero):
Como
, temos que:
Passo 4
Vamos resolver a equação característica
:
Isso nos dá duas soluções para
:
-
(raiz dupla) -
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz dupla em
e outra raiz em
, a solução geral é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas a partir de condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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tsent,
,
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