Resolva as seguintes equações diferenciais homogenias: (a)

Passo 1

Ok, vamos resolver a equação diferencial homogênea dada: . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de ordem superior. Vamos seguir passo a passo para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Aqui, representa a terceira derivada de em relação a , e é a segunda derivada.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos procurar soluções da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação diferencial:
Podemos fatorar (que nunca é zero):
Como , temos que:

Passo 4

Vamos resolver a equação característica :
Isso nos dá duas soluções para :
  1. (raiz dupla)

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos uma raiz dupla em e outra raiz em , a solução geral é:
Onde , e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas a partir de condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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