Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares
:
(iii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando escalonamento. O sistema que temos é:
Vamos precisar usar a técnica de eliminação de Gauss, que basicamente envolve manipular as equações para “escalonar” a matriz e facilitar a resolução. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer.
Passo 3
Vamos começar eliminando o primeiro coeficiente das equações abaixo da primeira. Ou seja, queremos zerar os elementos na primeira coluna, das linhas 2 e 3.
Para isso, podemos usar a Linha 1 (L1):
- L2 = L2 - (3/4)L1
- L3 = L3 - (2/4)L1 ou simplificando L3 = L3 - (1/2)L1
Vamos calcular:
Para L2:
Para L3:
Então, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente da segunda variável na terceira linha seja zero. Primeiro, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por -4/5 para ter um 1 como coeficiente de y.
L2 = (-4/5)L2
Então, a matriz fica:
Agora, vamos eliminar o coeficiente de y na terceira linha usando a segunda linha.
L3 = L3 - (7/2)L2
A matriz agora é:
Passo 5
Agora, temos uma matriz escalonada triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
Agora, substituímos o valor de z na segunda linha para encontrar y:
Por fim, substituímos y e z na primeira linha para encontrar x:
Resposta
A solução do sistema é:
O sistema é determinado, ou seja, possui uma única solução.