Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares ^1 :
(iii) l4 x-y-3 z=15 3 x-2 y+5 z=-7 2 x+3 y+4 z=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando escalonamento. O sistema que temos é:
4x - y - 3z = 15 3x - 2y + 5z = -7 2x + 3y + 4z = 7
Vamos precisar usar a técnica de eliminação de Gauss, que basicamente envolve manipular as equações para “escalonar” a matriz e facilitar a resolução. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
4 & -1 & -3 & | & 15 3 & -2 & 5 & | & -7 2 & 3 & 4 & | & 7
Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro coeficiente das equações abaixo da primeira. Ou seja, queremos zerar os elementos na primeira coluna, das linhas 2 e 3.
Para isso, podemos usar a Linha 1 (L1):
  • L2 = L2 - (3/4)L1
  • L3 = L3 - (2/4)L1 ou simplificando L3 = L3 - (1/2)L1
Vamos calcular:
Para L2:
3 - (34 times 4) = 3 - 3 = 0 -2 - (34 times (-1)) = -2 + 34 = -54 5 - (34 times (-3)) = 5 + 94 = 294 -7 - (34 times 15) = -7 - 454 = -734
Para L3:
2 - (12 times 4) = 2 - 2 = 0 3 - (12 times (-1)) = 3 + 12 = 72 4 - (12 times (-3)) = 4 + 32 = 112 7 - (12 times 15) = 7 - 152 = -12
Então, a matriz fica assim:
4 & -1 & -3 & | & 15 0 & -54 & 294 & | & -734 0 & 72 & 112 & | & -12

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente da segunda variável na terceira linha seja zero. Primeiro, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por -4/5 para ter um 1 como coeficiente de y.
L2 = (-4/5)L2
0 times (-4/5) = 0 -54 times (-4/5) = 1 294 times (-4/5) = -295 -734 times (-4/5) = 735
Então, a matriz fica:
4 & -1 & -3 & | & 15 0 & 1 & -295 & | & 735 0 & 72 & 112 & | & -12
Agora, vamos eliminar o coeficiente de y na terceira linha usando a segunda linha.
L3 = L3 - (7/2)L2
0 - 0 = 0 72 - 72 times 1 = 0 112 - 72 times (-295) = 112 + 20310 = 5510 + 20310 = 25810 = 1295 -12 - 72 times 735 = -12 - 51110 = -510 - 51110 = -51610 = -2585
A matriz agora é:
4 & -1 & -3 & | & 15 0 & 1 & -295 & | & 735 0 & 0 & 1295 & | & -2585

Passo 5

Agora, temos uma matriz escalonada triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Primeiro, da terceira linha:
1295z = -2585 z = -25851295 = -2
Agora, substituímos o valor de z na segunda linha para encontrar y:
y - 295(-2) = 735 y + 585 = 735 y = 735 - 585 = 155 = 3
Por fim, substituímos y e z na primeira linha para encontrar x:
4x - y - 3z = 15 4x - 3 - 3(-2) = 15 4x - 3 + 6 = 15 4x + 3 = 15 4x = 12 x = 3

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3, y = 3, z = -2
O sistema é determinado, ou seja, possui uma única solução.

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