Sendo F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar H circ F circ G.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos três transformações lineares e definidas no plano . O objetivo é determinar a composição dessas transformações na ordem . Isso significa que vamos aplicar primeiro , depois , e por fim a um ponto qualquer no plano.
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo aplicando cada transformação na ordem correta.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformação G(x, y) = (y, x + y) ao ponto . A transformação é definida por:
Isso significa que, ao aplicar , o novo ponto será .

Passo 3

Agora, aplicamos a transformação F(x, y) = (x, 2y) ao resultado obtido no passo anterior, ou seja, ao ponto F(y, x + y) = (y, 2(x + y)) = (y, 2x + 2y) . A transformação é definida por:
Então, aplicando a , temos:

Passo 4

Por último, aplicamos a transformação H(x, y) = (0, x) ao resultado do passo anterior, que é H(y, 2x + 2y) = (0, y) . A transformação é definida por:
Aplicando a , obtemos:

Resposta

A composição H circ F circ G(x, y) = (0, y) aplicada a qualquer ponto resulta em:

Exercícios relacionados

Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares ^1 :
(iii) l4 x-y-3 z=15 3 x-2 y+5 z=-7 2 x+3 y+4 z=7
Sendo F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar F circ G.
Considere as matrizes: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], D=[c1 -1 2] e E=[ccc6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3]
Calcule quando possível, as seguintes matrizes:
(e) E^2-5 E
Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares ^1 :
(ii) cx+2 y+3 z=10 3 x+4 y+6 z=23 3 x+2 y+3 z=10 2 x+2 x+4 z=13