Sendo F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar H circ F circ G.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos três transformações lineares e definidas no plano . O objetivo é determinar a composição dessas transformações na ordem . Isso significa que vamos aplicar primeiro , depois , e por fim a um ponto qualquer no plano.
Para resolver isso, vamos seguir passo a passo aplicando cada transformação na ordem correta.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformação G(x, y) = (y, x + y) ao ponto . A transformação é definida por:
Isso significa que, ao aplicar , o novo ponto será .

Passo 3

Agora, aplicamos a transformação F(x, y) = (x, 2y) ao resultado obtido no passo anterior, ou seja, ao ponto F(y, x + y) = (y, 2(x + y)) = (y, 2x + 2y) . A transformação é definida por:
Então, aplicando a , temos:

Passo 4

Por último, aplicamos a transformação H(x, y) = (0, x) ao resultado do passo anterior, que é H(y, 2x + 2y) = (0, y) . A transformação é definida por:
Aplicando a , obtemos:

Resposta

A composição H circ F circ G(x, y) = (0, y) aplicada a qualquer ponto resulta em:

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