Sendo F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar F circ G.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três transformações lineares , e definidas no espaço . Precisamos encontrar a composição , que significa aplicar primeiro e depois no resultado. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar cada transformação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação G(x, y) = (y, x + y) a um vetor qualquer . De acordo com a definição:
Ou seja, troca o primeiro elemento para e o segundo elemento para .

Passo 3

Agora que temos F(u, v) = (u, 2v) , vamos aplicar a transformação F(G(x, y)) = F(y, x + y) = (y, 2(x + y)) no resultado. A transformação está definida como:
Substituindo e pelos resultados de :
Ou seja, o primeiro elemento permanece e o segundo elemento é o dobro de .

Resposta

A composição F circ G(x, y) = (y, 2x + 2y) é dada por:

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